欧拉计划747:三角披萨

〇〇 · 发表于 2021-2-17 08:00

PAC PBD=AOB的n通解

In[3]:= Solve[{
a*b==1/n,
y(1-a)==1/n,
x(1-b)==1/n,
y==b-(b/a)x
},{a,b,x,y}]
2 2
-3 6 3 Sqrt[9 - 10 n + n ] 3 3 Sqrt[9 - 10 n + n ]
------ + - + ---------- - ------------------- - - --- + -------------------
-1 + n n (-1 + n) n (-1 + n) n 2 2 n 2 n
Out[3]= {{x -> ---------------------------------------------, y -> -----------------------------,
2 -1 + n
2
3 Sqrt[9 - 10 n + n ]
1 + - - ------------------- 2
n n 3 + n + Sqrt[9 - 10 n + n ]
> b -> ---------------------------, a -> ---------------------------},
4 4 n
2 2
-3 6 3 Sqrt[9 - 10 n + n ] 3 Sqrt[9 - 10 n + n ]
------ + - + ---------- + ------------------- 3 - - - -------------------
-1 + n n (-1 + n) n (-1 + n) n n n
> {x -> ---------------------------------------------, y -> ---------------------------,
2 2 (-1 + n)
2
1 3 Sqrt[9 - 10 n + n ]
- + --- + ------------------- 2
2 2 n 2 n 3 + n - Sqrt[9 - 10 n + n ]
> b -> -----------------------------, a -> ---------------------------}}
2 4 n

复制代码

〇〇 · 发表于 2021-2-17 08:04

本帖最后由〇〇于 2021-2-17 08:54 编辑

Solve[{
a*b==1/n,
y(1-a)==c/n,
x(1-b)==d/n,
y==b-(b/a)x
},{a,b,x,y}]
的解很难读，也不知道是否在(0,1)取值范围内无理数部分是
Sqrt[(-1 - c - d - n) ^2 - 4 (1 + d) (n + c n)]
只要里面>=0,就不会有虚数

〇〇 · 发表于 2021-2-17 08:17

〇〇发表于 2021-2-17 07:57
n=10,有2组解

点到直线的距离自动满足了
假设该点坐标为(x,y),直线方程为Ax+By+C=0,则点到直线的距离d=abs(Ax+By+C)/sqrt(AA+BB)

d=| 2/15+1/6-1 |/sqrt(2)

〇〇 · 发表于 2021-2-17 09:30

〇〇发表于 2021-2-17 08:04
Solve[{a*b==1/n,y(1-a)==c/n,x(1-b)==d/n,y==b-(b/a)x},{a,b,x,y}]的解很难读，也不知道是否在(0,1)取值范 ...

>>> for n in range(9,26):
... for c in range(1,(n-1)//2+1):
... for d in range(1,c+1):
... x=(-1-c-d-n)**2-4*n*(1+d)*(1+c)
... if x<0: break
... else: print(n,c,d,x)
...
9 1 1 0
10 1 1 9
11 1 1 20
12 1 1 33
13 1 1 48
14 1 1 65
15 1 1 84
15 2 1 1
16 1 1 105
16 2 1 16
17 1 1 128
17 2 1 33
18 1 1 153
18 2 1 52
19 1 1 180
19 2 1 73
20 1 1 209
20 2 1 96
21 1 1 240
21 2 1 121
21 3 1 4
22 1 1 273
22 2 1 148
22 3 1 25
23 1 1 308
23 2 1 177
23 3 1 48
24 1 1 345
24 2 1 208
24 3 1 73
25 1 1 384
25 2 1 241
25 2 2 0
25 3 1 100

newkid · 发表于 2021-2-17 09:32

你那20楼 n=10 的解要怎么解读？怎么才能代入方程让它成立？两个小三角型都是切角的一倍吗？

〇〇 · 发表于 2021-2-17 10:12

本帖最后由〇〇于 2021-2-17 20:52 编辑

S(10)对了，S(1000)还差很多
>>> s=0
>>> for n in range(9,11):
...  for c in range(1,(n-1)//2+1):
... for d in range(1,c+1):
... x=(-1-c-d-n)**2-4*n*(1+d)*(1+c)
... if x<0: break
... else:
...    if x==0:s+=1
...    else:s+=2
...    #print(n,c,d,x)
...
>>> s
3
>>> 345-336
9
>>> s=0
>>> for n in range(9,1001):
...  for c in range(1,(n-1)//2+1):
... for d in range(1,c+1):
... x=(-1-c-d-n)**2-4*n*(1+d)*(1+c)
... if x<0: break
... else:
...    if x==0:s+=1
...    else:s+=2
...
>>> print(s)
510985
>>> print(s*3)
1532955
>>> sum([(n-2)*(n-1)//2+(n-2)*6 for n in range(3,1001)])
169158006
>>> 172166601-169158006
3008595约差了一半

考虑到我的循环只有一半（d<=c),所以x y 的两个解不重复的情况下，还要乘2
>>> s=0
>>> for n in range(9,1001):
...  for c in range(1,n+1):
... for d in range(1,c+1):
... x=(-1-c-d-n)**2-4*n*(1+d)*(1+c)
... if x<0: break
... else:
...    if x==0:s+=1
...    else:s+=4
...
>>> s*3
3065853

这个差不多，还多了

〇〇 · 发表于 2021-2-17 12:46

newkid 发表于 2021-2-17 09:32
你那20楼 n=10 的解要怎么解读？怎么才能代入方程让它成立？两个小三角型都是切角的一倍吗？

第一个方程是切角面积恒为1/n第二三个是贴切边和梯形斜边的小三角形面积，可以是1/n的倍数，第四个方程是切边的直线方程，如果解的根号内为0，则有重复解

〇〇 · 发表于 2021-2-17 20:57

本帖最后由〇〇于 2021-2-17 21:23 编辑

在梯形（a==b，(-1-c-d-n)**2-4*n*(1+d)*(1+c)不一定==0）的情况下，一组c+d有多种排列组合，可以直接算
比如n=25,a+b=4
25 1 3
25 2 2 0
25 3 1

〇〇 · 发表于 2021-2-17 21:50

本帖最后由〇〇于 2021-2-17 21:57 编辑

不要用投机取巧的c,d对称，都罗列完就对了
>>> def f(n):
...  s=0
...  for c in range(1,n+1):
... for d in range(1,n+1):
... x=(-1-c-d-n)**2-4*n*(1+d)*(1+c)
... if x<0: break
... else:
...    if x==0:s+=3
...    else:s+=6
...  return s
...
>>> f(25)
33

>>> s=0
>>> for n in range(3,1001):s+=f(n)
...
>>> s
3008595
@newkid 看看有什么公式？
>>> for n in range(3,**)

rint(n,f(n))
...
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 3
10 6
11 6
12 6
13 6
14 6
15 18
16 18
17 18
18 18
19 18
20 18
21 30
22 30
23 30
24 30
25 33
26 36
27 48
28 48
29 48
30 48
31 48
32 48
33 60
34 60
35 72
36 72
37 72
38 72
39 84
40 84
41 84
42 84
43 84
44 84
45 108
46 108
47 108
48 108
49 111
50 120
51 126
52 126
53 126
54 126
55 138
56 150
57 150
58 150
59 150
60 150
61 150
62 162
63 174
64 174
65 186
66 186
67 186
68 198
69 198
70 198
71 198
72 198
73 198
74 210
75 222
76 222
77 234
78 234
79 234
80 246
81 249
82 252
83 252
84 252
85 276
86 276
87 276
88 276
89 276
90 276
91 300
92 300
93 300
94 300
95 312
96 312
97 324
98 324
99 336
100 336

newkid · 发表于 2021-2-17 22:24

〇〇发表于 2021-2-17 12:46
第一个方程是切角面积恒为1/n第二三个是贴切边和梯形斜边的小三角形面积，可以是1/n的倍数，第四个方程是 ...

方程我看得懂，就是答案看不懂，因为在手机上分数显示不出来。你把那个不等式展开看看有没有希望简化得到公式。